Unidad II

Inducción o inferencia estadística

Distribución de probabilidad normal estándar

El número de distribuciones normales es ilimitado, y cada una posee diferentes medias, desviación estándar, o ambas. Mientras que es posible proporcionar tablas de probabilidad de distribuciones discretas, como la binominal y la de Poisson, es imposible elaborar tablas de una infinidad de distribuciones normales. Por fortuna, un miembro de la familia se utiliza para determinar las probabilidades de todas las distribuciones de probabilidad normal, es la distribución de probabilidad normal estándar y es única, pues tiene una media de 0 y una desviación estándar de 1.

Cualquier distribución de probabilidad normal puede convertirse en una distribución de probabilidad normal estándar, si se rets la media de cada observación y se divide esta diferencia entre la desviación estándar. Los resultados reciben el nombre de valores "z" o "valores tipificados".

De esta manera, el valor "z" es la distancia de la media, medida en unidades de desviación estándar. A continuación la formula:

Simbología:

Según se observa en la definición anterior, un valor "z" espresa la distancia entre un valor particular de "x" y la media aritmética en unidades de desviación estándar. Una vez que se estandarizan las observaciones de la distribución normal, los valores de "z" posee todas las características de cualquier distribución de probabilidad normal.

Para este tipo de distribución se utilizará la siguiente tabla:

Aplicación de la distribución normal estándar

Calculo del valor Z de X cuando se conoce la desviación estándar de la población.

Intervalos de confianza de una media poblacional

Un estimador puntual solo dice parte de la historia, aunque se espera que el estimador puntual se aproxime al parámetro poblacional, sería conveniente medir cuan próximo se encuentra en realidad, un intervalo de confianza sirve en este caso.

Un intervalo de confianza es el conjunto de valores que se forma a partir de una muestra de datos de forma que exista la posibilidad de que el parámetro poblacional ocurra dentro de dicho conjunto con una probabilidad específica. La probabilidad específica recibe el nombre de "nivel de confianza".

Para poder calcular el intervalo de confianza, se consideran las siguientes dos situaciones:

Desviación estándar de la población conocida

Un intervalo de confianza se calcula con el empleo de dos estadísticos, la media muestral y la desviación estándar. Cuando se calcula un intervalo de confianza, se utiliza la desviación estándar para estimar el rango del intervalo de confianza.

Para demostrar la idea del intervalo de confianza, se comienza con una suposición simple que, conocemos el valor de la desviación estándar de la población, conocerla permite simplificar el desarrollo del intervalo de confianza, porque podemos utilizar la distribución normal estándar.

Los resultados del teorema central del límite permiten afirmar lo siguiente con respecto a los intervalos de confianza, utilizando el estadístico z:

1.- 95% de las medidas muestrales seleccionadas de una población se encontrará dentro de 1.96 errores estándares.

2.- 99% de las medias muestrales se encontrará a 2.58 errores estándares de la media poblacional.

Los intervalos calculados de esta manera proporcionan ejemplos de los niveles de confianza y reciben el nombre de "intervalo de confianza de 95% e intervalo de confianza de 99%". Por lo tanto, 95% y 99% son los niveles de confianza y se refieren al porcentaje de intervalos similarmente construidos que incluirían el parámetro a calcular.

¿Cómo determinar el intervalo de confianza de 95%? La amplitud del intervalo se determina por medio del nivel de confianza y de la magnitud del error estándar de la media. Ya se ha descrito la forma de encontrar el valor "z" de un nivel de confianza particular, el error estándar de la media indica la variación de la distribución de las medias muestrales. Se trata en realidad de la desviación estándar de la distribución muestral de medias.

Desviación estándar poblacional desconocida

Se utiliza la desviación estándar de la muestra para estimar la desviación estándar poblacional, es decir, se utiliza la desviación estándar de la muestra, para estimar la desviación estándar de la población.

Al hacerlo no es posible utilizar la fórmula 9-1, debido a que no se conoce la desviación estándar de la población, no puede utilizarse la "distribución z". Por lo que se debe de utilizar la distribución de "t", la cual es una distribución de probabilidad continua, con muchas características similares a las de la distribución z.

La distribución "t" posee mayor dispersión que la distribución "z" el valor de "t" en un nivel de confianza dado tiene una magnitud mayor que el valor z correspondiente.

Para crear un intervalo de confianza de la media poblacional con la distribución "t", se realiza de la siguiente manera:

Para crear un intervalo de confianza de la media poblacional con una desviación estándar desconocida:

La decisión de utilizar "t" o "z" se basa en el hecho de que se conozca la desviación estándar poblacional. Si se conoce se utiliza "z". De lo contrario, se debe de utilizar "t".